%--------------------------
% Archivo: mat2002junb4.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
%--------------------------

% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
\setlength{\oddsidemargin}{-0.54cm}
\setlength{\topmargin}{-0.54cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{25.7cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{1.3ex}

% Paquetes
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{hyperref}

% Datos para el PDF
\ifpdf
\pdfinfo
  {
  /Title  (Mat2002JunB4)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de junio. \par
  Opción B. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Se considera la función:
  \begin{equation*}
    f(x)=
    \left\lbrace\begin{array}{ccc}
    \dfrac{x^2+3x+1}{x} & \mbox{si} & x\geq -1 \\
    \\
    \dfrac{2x}{x-1} & \mbox{si} & x<-1
    \end{array} \right.
  \end{equation*}
  Se pide:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (0,5 puntos) Estudiar el dominio y la continuidad de $f$.
    \item (1,5 puntos) Hallar las asíntotas de la gráfica de $f$.
    \item (1 punto) Calcular el área del recinto plano acotado limitado
      por la gráfica de $f$ y las rectas $y=0$, $x=1$, $x=2$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item $D(f)=\mathbf R - \left\lbrace 0 \right\rbrace$ ya que en $0$
    se anula un denominador.

    $f$ es continua en los intervalos abiertos $(-\infty,-1)$,
    $(-1,0)$ y $(0,\infty)$ ya que en cada uno de ellos es una función
    cociente de funciones continuas en las que no se anula el denominador.

    En el punto $0$ la función es discontinua porque $0 \notin D(f)$.

    Para estudiar la continuidad en $-1$ hay que recurrir a la definición
    de continuidad en un punto verificando si se cumplen las tres condiciones:

    Primera condición: $f(-1)=\dfrac{(-1)^2+3\cdot(-1)+1}{-1}=1$.

    Segunda condición:
    \begin{equation*}
    \left. \begin{array}{l}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to -1^-} f(x) =
      \mathop {\lim }\limits_{x \to -1^-} \dfrac{2x}{x-1} = 1 \\ \\
    \mathop {\lim }\limits_{x \to -1^+} f(x) =
      \mathop {\lim }\limits_{x \to -1^+} \dfrac{x^2+3x+1}{x} = 1
    \end{array} \right\rbrace
    \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to -1} f(x) = 1
    \end{equation*}

    Tercera condición: $\mathop {\lim }\limits_{x \to -1} f(x) = f(-1)$

    Se cumplen las tres condiciones, luego $f$ es continua en el punto $-1$

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $D(f)=\mathbf R - \left\lbrace 0 \right\rbrace$ y $f$ es continua en los
    intervalos $(-\infty,0)$ y $(0,\infty)$

  \item Asíntota vertical solo puede tener en el punto de discontinuidad, el $0$.
    Calculamos los límites laterales:
    \begin{equation*}
    \left. \begin{array}{l}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x) =
      \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \dfrac{x^2+3x+1}{x} = -\infty  \\ \\
    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x) =
      \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x^2+3x+1}{x} =  \infty
    \end{array} \right\rbrace
    \Rightarrow \mbox{La recta }x=0 \mbox{ es asíntota vertical.}
    \end{equation*}\newpage

    Calculamos el comportamiento cuando $x \to \infty$:
    \begin{equation*}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} f(x) =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2+3x+1}{x} =  \infty
    \end{equation*}
    $f$ no tiene asíntotal horizontal por la derecha.

    Si tuviera asíntota
    oblicua, tendría ecuación $y=mx+n$. Intentamos calcular $m$ y $n$:
    \begin{equation*}
    m = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^2+3x+1}{x}}{x} =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2+3x+1}{x^2} = 1
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    n = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} (f(x)-mx) =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{x^2+3x+1}{x}-x\right) =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2+3x+1-x^2}{x} =
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{3x+1}{x} = 3
    \end{equation*}
    La recta de ecuación $y=x+3$ es asíntota oblicua por la derecha.

    Calculamos el comportamiento cuando $x \to -\infty$:
    \begin{equation*}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} f(x) =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x}{x-1} = 2
    \end{equation*}
    La recta de ecuación $y=2$ es asíntota horizontal por la izquierda.

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    La gráfica de $f$ tiene tres asíntotas: $x=0$, $y=x+3$ e $y=2$.

  \item Vemos si la gráfica de $f$ corta al eje $y=0$ en algún punto
    entre $1$ y $2$:
    \begin{equation*}
    \dfrac{x^2+3x+1}{x} = 0 \Rightarrow x^2+3x+1 = 0 \Rightarrow
    x = \dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2} \notin [1,2]
    \end{equation*}
    Como no corta, el área pedida es
    \begin{equation*}
    \int _1 ^2 \dfrac{x^2+3x+1}{x}dx =
    \int _1 ^2 \left( x+3+\dfrac{1}{x}\right) dx =
    \left. \dfrac{1}{2}x^2+3x+\ln |x| \right] _1 ^2 =
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    = \dfrac{1}{2}2^2 + 3\cdot 2 + \ln 2 - \left( \dfrac{1}{2}+3 \right) =
    4.5 + \ln 2 = 5.193
    \end{equation*}

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    El área pedida es $5.193 u^2$
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002junb4.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}
