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% Archivo: mat2002moda2.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002ModA2)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen modelo. \par
  Opción A. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Sean las rectas $r: \left \{ \begin{array}{l} x-2y-6z = 1 \\ x+y = 0 \end{array} \right.$
  \quad $s: \left \{ \dfrac{x}{2} = \dfrac{y-1}{a} = z \right.$
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Determinar la posición relativa de $r$ y $s$ según los valores de $a$.
    \item (1 punto) Calcular la distancia entre las rectas $r$ y $s$ cuando $a=-2$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones implícitas
    de $r$ obtenemos sus ecuaciones paramétricas:
    \begin{equation*}
    \left \{ \begin{array}{l} x-2y-6z = 1 \\ x+y = 0 \end{array} \right.
    \left | \begin{array}{l} 3x-6z = 1 \\ y = -x \end{array} \right.
    \left | \begin{array}{l} z = \dfrac{1-3x}{-6}=-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}x \\  \end{array} \right.
    \Rightarrow 
    \left \{ \begin{array}{l} 
      x = \lambda \\ y = - \lambda \\ z = -\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\lambda \\
    \end{array} \right.
    \end{equation*}
    De la ecuación de $r$ se obtiene un punto $P_r=(0,0,-\frac{1}{6})$ y su
    vector de dirección $(1,-1,\frac{1}{2})$, aunque es más cómodo tomar su múltiplo
    $\vec{v}_r=(2,-2,1)$.

    De la ecuación de $s$ se obtiene un punto $P_s=(0,1,0)$ y su
    vector de dirección $\vec{v}_s=(2,a,1)$.

    Para que los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ sean proporcionales
    debe ocurrir $\dfrac{2}{2}=\dfrac{-2}{a}=\dfrac{1}{1} \Rightarrow a=-2$

    Si $a=-2$, como $P_s \notin r$, las rectas son paralelas.

    Si $a \ne -2$, calculamos el producto mixto
    $[6\overrightarrow{P_sP_r},\vec{v}_r,\vec{v}_s]$:
    \begin{equation*}
    [6\overrightarrow{P_sP_r},\vec{v}_r,\vec{v}_s] =
    \left| \begin{array}{rrr}
    0 & 6 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & a & 1
    \end{array}\right| =
    12+2a+4-12= 2a+4 \ne 0 \Rightarrow \mbox{las rectas se cruzan}
    \end{equation*}
    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    Si $a=-2$, son paralelas; si $a \ne -2$, se cruzan.

  \item $d(r,s)=d(P_r,s)=\dfrac{|\vec{v}_s\times\overrightarrow{P_sP_r}|}{|\vec{v}_s|}$
    \begin{equation*}
    \vec{v}_s\times\overrightarrow{P_sP_r} = 
    \left| \begin{array}{rrr}
    \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & -2 & 1
    \end{array}\right| = \left( \frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -2 \right)
    \Rightarrow d(r,s)=
    \dfrac{\left|\left( \frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -2 \right) \right|}{|(2,-2,1)|}
    = \dfrac{\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{1}{9}+4}}{\sqrt{4+4+1}} =
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    = \dfrac{\sqrt{\frac{53}{9}}}{3} = \sqrt{53} = 7.280 u
    \end{equation*}

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $7.280 u$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002moda2.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{document}