%--------------------------
% Archivo: mat2002sepa1.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
%--------------------------

% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
\setlength{\oddsidemargin}{-0.54cm}
\setlength{\topmargin}{-0.54cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{25.7cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{1.3ex}

% Paquetes
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{hyperref}

% Datos para el PDF
\ifpdf
\pdfinfo
  {
  /Title  (Mat2002SepA1)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de septiembre. \par
  Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Se considera la función real de variable real definida por:
  $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$
  \begin{enumerate}[a)]
  \item (1 punto) Determinar sus máximos y mínimos relativos
  \item (1 punto) Calcular el valor de $a>0$ para el cual se
    verifica la igualdad $\int _0 ^a f(x)dx = 1$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución
\begin{enumerate}[a)]
\item Resolvemos la ecuación $f'(x)=0$:
\begin{equation*}
f(x)=\dfrac{x}{x^2+1} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{x^2+1-x\cdot2x}{(x^2+1)^2} =
\dfrac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} = 0 \Rightarrow -x^2+1 = 0 \Rightarrow
x = \left\lbrace \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right.
\end{equation*}
Sustituimos en la derivada segunda las soluciones obtenidas:
\begin{equation*}
f''(x)=\dfrac{-2x(x^2+1)^2-(-x^2+1)2(x^2+1)2x}{(x^2+1)^4}
\end{equation*}
\begin{equation*}
f''(-1)>0 \Rightarrow f \mbox{ tiene un mínimo relativo en } x=-1 \\
\end{equation*}
\begin{equation*}
f''(1)<0 \Rightarrow f \mbox{ tiene un máximo relativo en } x=1
\end{equation*}
Calculamos las ordenadas de los puntos sustituyendo en $f$:
\begin{equation*}
x=-1 \Rightarrow y=f(-1)=\dfrac{-1}{2};
x=1 \Rightarrow y=f(1)=\dfrac{1}{2};
\end{equation*}

% Solución

\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{Solución}\quad
$f$ tiene un mínimo relativo en el punto $(-1,\frac{-1}{2})$
y un máximo relativo en $(1,\frac{1}{2})$.

\item Calculamos el valor de la integral definida:
\begin{equation*}
\int _0 ^a f(x)dx = \int _0 ^a \dfrac{x}{x^2+1} dx =
\dfrac{1}{2}\int _0 ^a \dfrac{2x}{x^2+1} dx =
\left. \dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) \right] _0 ^a =
\dfrac{1}{2}\ln(a^2+1)
\end{equation*}
Resolvemos la ecuación pedida:
\begin{equation*}
\int _0 ^a f(x)dx = 1 \Rightarrow
\dfrac{1}{2}\ln(a^2+1) = 1 \Rightarrow \ln(a^2+1) = 2 \Rightarrow
a^2+1 = e^2 \Rightarrow a=\pm\sqrt{e^2-1}
\end{equation*}
Como se pide $a>0$, debe ser $a=\sqrt{e^2-1}=2.528$

% Solución

\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{Solución}\quad
$a=2.528$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002sepa1.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}
