%--------------------------
% Archivo: mat2002sepa4.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
%--------------------------

% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
\setlength{\oddsidemargin}{-0.54cm}
\setlength{\topmargin}{-0.54cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{25.7cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{1.3ex}

% Paquetes
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{hyperref}

% Datos para el PDF
\ifpdf
\pdfinfo
  {
  /Title  (Mat2002SepA4)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de septiembre. \par
  Opción A. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Se consideran las rectas:
  $r:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-3}{2}$;
  $s:\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$.
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Calcular la distancia entre $r$ y $s$.
    \item (1 punto) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la
      recta perpendicular común a $r$ y $s$ y que corta a ambas.
    \item (1 punto) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta
      que corta a $r$ y $s$ y que pasa por el punto $P(1,0,0)$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Para decidir el método que vamos a usar para calcular la
    distancia entre las rectas comenzamos por estudiar su posición
    relativa.

    De la ecuación de $r$ se obtiene un punto $P_r=(0,1,3)$ y su
    vector de dirección $\vec{v}_r=(1,-2,2)$.

    De la ecuación de $s$ se obtiene un punto $P_s=(2,0,-1)$ y su
    vector de dirección $\vec{v}_s=(3,1,-1)$.

    Los vectores de dirección no son proporcionales, así que las
    rectas se cortan o se cruzan. Para decidirlo calculamos el
    producto mixto $[\overrightarrow{P_rP_s},\vec{v}_r,\vec{v}_s]$.
    \begin{equation*}
    [\overrightarrow{P_rP_s},\vec{v}_r,\vec{v}_s] =
    \left| \begin{array}{rrr}
    2 & -1 & -4 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -1
    \end{array}\right| =
    4-6-4-24-1-4 = -35 \ne 0 \Rightarrow \mbox{las rectas se cruzan}
    \end{equation*}
    Para calcular la distancia se necesita $\vec{v}_r\times\vec{v}_s$:
    \begin{equation*}
    \vec{v}_r\times\vec{v}_s = 
    \left| \begin{array}{rrr}
    \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -1
    \end{array}\right| = (0,7,7)
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \mbox{La distancia es: }
    d(r,s) = \dfrac{|[\overrightarrow{P_rP_s},\vec{v}_r,\vec{v}_s]|}{|\vec{v}_r\times\vec{v}_s|}
    = \dfrac{|-35|}{\sqrt{0^2+7^2+7^2}} = \dfrac{35}{\sqrt{98}} = 3,536
    \end{equation*}
    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    3,536 $u$
  \item Llamamos $t$ a la recta pedida. Su vector de dirección es
    $\vec{v}_r\times\vec{v}_s = (0,7,7) \Rightarrow \vec{v}_t = (0,1,1)$
    Daremos $t$ como intersección de los planos $\Pi$ y $\Sigma$ que la
    contienen.

    $\Pi$ es el plano que pasa por el punto $P_r$ y está generado por
    $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_t$:
    \begin{equation*}
    \left| \begin{array}{ccc}
    x & y-1 & z-3 \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1
    \end{array}\right| = 
    -4x-(y-1)+z-3=-4x-y+z-2 \Rightarrow \Pi \equiv 4x+y-z+2=0
    \end{equation*}
    $\Sigma$ es el plano que pasa por el punto $P_s$ y está generado por
    $\vec{v}_s$ y $\vec{v}_t$:
    \begin{equation*}
    \left| \begin{array}{ccc}
    x-2 & y & z-1 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1
    \end{array}\right| = 
    2(x-2)-3y+3(z-1)=2x-3y+3z-7 \Rightarrow \Sigma \equiv 2x-3y+3z-7=0
    \end{equation*}
    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $\left\lbrace \begin{array}{ll}
    4x+y-z+2=0 \\ 2x-3y+3z-7=0
    \end{array}\right. $\newpage
  \item Daremos la recta pedida como intersección de los planos que la
    contienen.

    $\Pi_r$ es el plano que pasa por el punto $P_r$ y está generado por
    $\overrightarrow{PP_r}$ y $\vec{v}_r$:
    \begin{equation*}
    \left| \begin{array}{ccc}
    x & y-1 & z-3 \\ -1 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 2
    \end{array}\right| = 
    8x+5(y-1)+z-3 = 8x+5y+z-8 \Rightarrow \Pi_r \equiv 8x+5y+z-8 = 0
    \end{equation*}
    $\Pi_s$ es el plano que pasa por el punto $P_s$ y está generado por
    $\overrightarrow{PP_s}$ y $\vec{v}_s$:
    \begin{equation*}
    \left| \begin{array}{ccc}
    x-2 & y & z-1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & -1
    \end{array}\right| = 
    x-2-2y+z-1 = x-2y+z-3 \Rightarrow \Pi_s \equiv x-2y+z-3 = 0
    \end{equation*}
    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $\left\lbrace \begin{array}{ll}
    8x+5y+z-8 = 0 \\ x-2y+z-3 = 0
    \end{array}\right. $
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002sepa4.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}