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% Archivo: mat2002sepb3.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
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% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002SepB3)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de septiembre. \par
  Opción B. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Sea $A$ una matriz real cuadrada de orden $n$ que verifica la 
  igualdad $A^2=I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden $n$.

  Se pide:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Expresar $A^{-1}$ en términos de $A$.
    \item (1 punto) Expresar $A^n$ en términos de $A$ e $I$,
      para cualquier número natural $n$.
    \item (1 punto) Calcular $a$ para que $A^2=I$, siendo $A$
      la matriz:
      \begin{equation*}
      A=\left[ 
      \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & a \end{array}
      \right] .
      \end{equation*}
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item $A^2=I\Rightarrow AA=I \Rightarrow A^{-1}=A$, ya que $A$
    cumple la definición de $A^{-1}$.

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $A^{-1}=A$

  \item $n \mbox{ par } \Rightarrow n=2m \Rightarrow A^n = A^{2m} =
    (A^2)^m = I^m = I$
    
    $n \mbox{ impar } \Rightarrow n=2m+1 \Rightarrow A^n = A^{2m+1} =
    A^{2m} A = IA = A$

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    Si n es par, $A^n=I$; si n es impar, $A^n=A$

  \item $A^2=I \Rightarrow
      \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & a \end{array}\right] ^2 =
      \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]
      \Rightarrow 
      \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1+a \\ 0 & a^2 \end{array}\right] =
      \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]
      \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} 1+a=0 \\ a^2=1 \end{array} \right.
      \Rightarrow a=-1$

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $a=-1$
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002sepb3.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}