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% Archivo: mat2002sepb4.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
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% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002SepB4)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de septiembre. \par
  Opción B. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Sea $f(x)$ una función real de variable real, derivable y con
  derivada continua en todos los puntos y tal que:
  \begin{equation*}
  f(0)=1\quad;\quad f(1)=2 \quad;\quad f'(0)=3 \quad;\quad f'(1)=4
  \end{equation*}
  Se pide:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Calcular $g'(0)$, siendo $g(x)=f(x+f(0))$.
    \item (2 puntos) Calcular $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}
      \dfrac{2(f(x))^2-f(x+1)}{e^x-1}$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Aplicamos la definición de derivada de una función en un punto
    \begin{equation*}
    g'(0)=
    \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{g(0+h)-g(0)}{h}=
    \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{f(h+f(0))-f(0+f(0))}{h}=
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{f(h+1)-f(1)}{h}=
    f'(1)=4
    \end{equation*}
    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $g'(0)=4$

  \item El límite pedido es una indeterminación $\frac{0}{0}$, luego
    se puede aplicar la regla de L'Hôpital.
    \begin{equation*}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{2(f(x))^2-f(x+1)}{e^x-1} =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{4(f(x))(f'(x))-f'(x+1)}{e^x} =
    \dfrac{4 \cdot 1 \cdot 3 - 4}{1} = 8
    \end{equation*}
    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    El límite pedido vale $8$.
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002sepb4.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}