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% Archivo: mat2006sepa2.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Definición de sen
\DeclareMathOperator{\sen}{sen}

% Datos para el PDF
\ifpdf
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  {
  /Title  (Mat2006SepA2)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2006. Examen de septiembre. \par
  Opción A. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Calcular los valores de $a$ y $b$ para que
    la función
    \begin{equation*}
      f(x)=
      \left\lbrace \begin{array}{ccc}
      3x+2 & \mbox{si} & x<0 \\
      x^2+2a\cos x & \mbox{si} & 0\leq x< \pi  \\
      ax^2+b & \mbox{si} & x \geq \pi 
     \end{array} \right.
   \end{equation*}
    sea continua para todo valor de $x$.
    \item (1 punto) Estudiar la derivabilidad de $f(x)$ para los
      valores de $a$ y $b$ obtenidos en el apartado anterior.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Consideramos las funciones $f_1(x)=3x+2$,
    $f_2(x)=x^2+2a \cos x$ y $f_3(x)=ax^2+b$ que forman parte de la
    definición de la función $f$.

    Como $f_1$, $f_2$ y $f_3$ son continuas, $f$ es continua
    en los intervalos $(-\infty,0)$, $(0,\pi)$ y $(\pi,\infty)$.

    Como $f_1$ y $f_2$ son continuas en $0$, $f$ será continua en
    $0$ cuando $f_1(0)=f_2(0)$.
    \begin{equation*}
    \left. 
    \begin{array}{ll} f_1(0)=2 \\ f_2(0)=2a \end{array}
    \right\rbrace \Rightarrow
    2=2a \Rightarrow a=1
    \end{equation*}
    Como $f_2$ y $f_3$ son continuas en $\pi$, $f$ será continua en
    $\pi$ cuando $f_2(\pi)=f_3(\pi)$.
    \begin{equation*}
    \left. 
    \begin{array}{ll} f_2(\pi)=\pi ^2 -2a \\ f_3(\pi)=a\pi ^2+b \end{array}
    \right\rbrace \Rightarrow
    \pi ^2 -2a = a\pi ^2+b \Rightarrow \pi ^2 -2 = \pi ^2+b \Rightarrow b=-2
    \end{equation*}
    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $a=1$ y $b=-2$\newpage

  \item Para los valores obtenidos en el apartado anterior la función
    queda definida como sigue:
    \begin{equation*}
      f(x)=
      \left\lbrace \begin{array}{ccc}
      3x+2 & \mbox{si} & x<0 \\
      x^2+2\cos x & \mbox{si} & 0\leq x< \pi  \\
      x^2-2 & \mbox{si} & x \geq \pi 
     \end{array} \right.
   \end{equation*}
    Consideramos las funciones $f_1(x)=3x+2$,
    $f_2(x)=x^2+2 \cos x$ y $f_3(x)=x^2-2$ que forman parte de la
    definición de la función $f$.

    Como $f_1$, $f_2$ y $f_3$, son derivables, $f$
    es derivable en los intervalos $(-\infty,0)$,
    $(0,\pi)$ y $(\pi,\infty)$.

    Utilizando las reglas de derivación, calculamos
    $f_1'(x)=3$, $f_2'(x)=2x-2 \sen x$ y $f_3(x)=2x$

    Como $f_1$ y $f_2$ son derivables, $f$ será derivable
    en $0$ cuando $f_1'(0)=f_2'(0)$.
    \begin{equation*}
    \left. 
    \begin{array}{ll} f_1'(0)=3 \\ f_2'(0)=0 \end{array}
    \right\rbrace \Rightarrow f \mbox{ no es derivable en }0
    \end{equation*}
    Como $f_2$ y $f_3$ son derivables, $f$ será derivable
    en $\pi$ cuando $f_2'(\pi)=f_3'(\pi)$.
    \begin{equation*}
    \left. 
    \begin{array}{ll} f_2'(\pi)=2\pi \\ f_3'(\pi)=2\pi \end{array}
    \right\rbrace \Rightarrow f \mbox{ es derivable en } \pi
    \end{equation*}
    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $f$ es derivable en $\mathbf{R}-\left\lbrace 0\right\rbrace $
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2006sepa2.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}