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% Archivo: mat2008juna4.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2008JunA4)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2008. Examen de junio. \par
  Opción A. Ejercicio 4. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Obtener los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión
  de la función:
  \begin{equation*}
  f(x)=x(\ln(x))^2
  \end{equation*}
  siendo $\ln(x)$ el logaritmo neperiano de $x$.
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución
Resolvemos la ecuación $f'(x)=0$
\begin{equation*}
f(x)=x(\ln(x))^2 \Rightarrow f'(x)=(\ln(x))^2 + x2\ln(x)\dfrac{1}{x} =
(\ln(x))^2 + 2\ln(x)
\end{equation*}
\begin{equation*}
f'(x)=0 \Rightarrow (\ln(x))^2 + 2\ln(x) = 0 \Rightarrow
\ln(x)(\ln(x)+2)=0 \Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow
\left\lbrace \begin{array}{l}
  \ln(x)=0 \Rightarrow x=1 \\ \ln(x)+2=0 \Rightarrow x=e^{-2}
\end{array} \right.
\Rightarrow
x = \left\lbrace \begin{array}{l} 1 \\ e^{-2} \end{array} \right.
\end{equation*}
Usando $f''$ estudiamos las soluciones obtenidas:
\begin{equation*}
f'(x)=(\ln(x))^2 + 2\ln(x) \Rightarrow
f''(x)= 2\ln(x)\dfrac{1}{x}+2\dfrac{1}{x} =
\dfrac{2}{x}(\ln(x)+1)
\end{equation*}
\begin{equation*}
f''(1)>0 \Rightarrow f \mbox{ tiene un mínimo relativo en } x=1
\end{equation*}
\begin{equation*}
f''(e^{-2})<0 \Rightarrow f \mbox{ tiene un máximo relativo en } x=e^{-2}
\end{equation*}
Resolvemos la ecuación $f''(x)=0$
\begin{equation*}
f''(x)=0 \Rightarrow \dfrac{2}{x}(\ln(x)+1)=0 \Rightarrow \ln(x)+1=0 \Rightarrow x=e^{-1}
\end{equation*}
Usando $f'''$ estudiamos la solución obtenida:
\begin{equation*}
f''(x)=\dfrac{2}{x}(\ln(x)+1) \Rightarrow
f'''(x)=-\dfrac{2}{x^2}(\ln(x)+1) + \dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{1}{x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
f'''(e^{-1}) \ne 0 \Rightarrow f \mbox{ tiene un punto de inflexión en } x=e^{-1}
\end{equation*}

% Solución

\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{Solución}

$f$ tiene un mínimo relativo en $1$, un máximo relativo en $e^{-2}$ y
un punto de inflexión en $e^{-1}$

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2008juna4.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}