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% Archivo: mat2008junb1.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2008JunB1)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2008. Examen de junio. \par
  Opción B. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Dada la siguiente matriz de orden $n$:
  \begin{equation*}
  A_n =
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
    -1 & 9 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
    -1 & -1 & 9 & \ldots & 1 & 1 \\
    . & . & . & \ldots & . & . \\
    -1 & -1 & -1 & \ldots & -1 & 9
  \end{pmatrix},
  \end{equation*}
  se pide:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (0,5 puntos) Calcular el determinante de la matriz $A_2$.
    \item (0,5 puntos) Calcular el determinante de la matriz $A_3$.
    \item (2 puntos) Calcular el determinante de la matriz $A_5$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item 
  $\det(A_2) = 
  \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 9 \\ \end{vmatrix} =
  9 + 1 = 10$
  % Solución

  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $\det(A_2) = 10$

  \item
  $\det(A_3) = 
  \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 9 & 1 \\ -1 & -1 & 9 \end{vmatrix} =
  \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 10 \end{vmatrix} =
  100$
  % Solución

  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $\det(A_3) = 100$

  \item
  $\det(A_5) =
  \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
    -1 & 9 & 1 & 1 & 1 \\
    -1 & -1 & 9 & 1 & 1 \\
    -1 & -1 & -1 & 9 & 1 \\
    -1 & -1 & -1 & -1 & 9
  \end{vmatrix} =
  \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
    0 & 10 & 2 & 2 & 2 \\
    0 & 0 & 10 & 2 & 2 \\
    0 & 0 & 0 & 10 & 2 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 10
  \end{vmatrix} =
  10000$
  % Solución

  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $\det(A_5) = 10000$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2008junb1.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}