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% Archivo: mat2008junb4.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
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% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2008JunB4)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2008. Examen de junio. \par
  Opción B. Ejercicio 4. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
    Dados el plano $\pi \equiv 3x + 2y - z +10 = 0$ y el punto $P(1,2,3)$,
    se pide:
    \begin{enumerate}[a)]
    \item (0,5 puntos). Hallar la ecuación de la recta $r$ perpendicular al
    plano $\pi$ que pasa por el punto $P$.
    \item (0,5 puntos). Hallar el punto $Q$ intersección de $\pi$ y $r$.
    \item (0,5 puntos). Hallar el punto $R$ intersección de $\pi$ con el eje OY.
    \item (0,5 puntos). Hallar el área del triángulo $PQR$.
    \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item El vector normal de $\pi$ es el vector de dirección de la recta $r$.
  \begin{equation*}
  \pi \equiv 3x + 2y - z +10 = 0 \Rightarrow \vec{n}_\pi = (3,2,-1)
  \Rightarrow \vec{v}_r = (3,2,-1).
  \end{equation*}
  Con el vector de dirección de la recta y el punto por el que pasa se
  obtienen las ecuaciones paramétricas.

  % Solución
  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $r \equiv
  \left\lbrace \begin{array}{l}
  x = 1 + 3 \lambda \\ y = 2 + 2 \lambda \\ z = 3 - \lambda
  \end{array} \right.$

  \item Sustituimos las coordenadas de un punto de $r$ en la ecuación de $\pi$
  para calcular el valor de $\lambda$ que corresponde al punto $Q$:
  \begin{equation*}
  3 (1 + 3 \lambda) + 2 (2 + 2 \lambda) - (3 - \lambda) + 10 = 0
  \Rightarrow 14 \lambda + 14 = 0 \Rightarrow \lambda = -1
  \end{equation*}
  Sustituimos en la ecuación de $r$ el valor obtenido de $\lambda$:
  $Q=(-2,0,4)$

  % Solución
  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $Q=(-2,0,4)$

  \item Las ecuaciones implícitas del eje OY son
  $\left\lbrace \begin{array}{l} x = 0 \\ z = 0 \end{array} \right.$

  Para hallar el punto $R$ resolvemos el sistema formado por las ecuaciones
  del eje OY y del plano $\pi$:
  \begin{equation*}
  \left\lbrace \begin{array}{l}
  3x + 2y - z +10 = 0 \\ x = 0 \\ z = 0
  \end{array} \right.
  \Rightarrow
  \left\lbrace \begin{array}{l}
  x = 0 \\ y = -5 \\ z = 0
  \end{array} \right.
  \Rightarrow R = (0,-5,0)
  \end{equation*}

  % Solución
  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $R = (0,-5,0)$\newpage 
  \item El área pedida es
  $\dfrac{1}{2} |\overrightarrow{RP} \times \overrightarrow{RQ}|$
  \begin{equation*}
  \overrightarrow{RP} \times \overrightarrow{RQ} =
  \begin{vmatrix}
  \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 7 & 3 \\ -2 & 5 & 4
  \end{vmatrix} = (13,-10,19)
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  A = \dfrac{1}{2} |(13,-10,19)| = \dfrac{1}{2}\sqrt{13^2+(-10)^2+19^2} = 12.55
  \end{equation*}
  % Solución
  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $A=12.55\,u^2$
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2008junb4.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}